高中数学解题技巧

一道题横扫一元二次方程根的分布问题

来源:高中数学微信公众号 | 作者:佚名 | 本文已影响 人

 

 一元二次方程根的分布问题是高中数学的重要知识点,很多函数问题,方程问题最后都能转化为根的分布问题.而这块内容初中不讲,高中也不讲,所以同学们都掌握的不是很好,今天小数老师给大家一道题目,能一下掌握这种题目的做法!加油!

  

  分析

  这道题就是一道简单的一元二次方程的根的问题,是小数老师为了讲清楚这个知识点专门找的例题,在我们考试时,基本不会碰上这么直接的题目(除非是只考这个知识点),也就是说在这个问题上,一般是披着外衣的,同学们必须练就火眼金睛,才能看到这个问题的本质。一般会在导数题目中考察这个问题,后面小数老师会陆续给出例题,大家持续关注!

  回顾

  通过之前我们学过的函数零点的知识点,我们能知道,函数的零点可以转化为方程的根,也可以转化为函数与x轴的交点,或者是两个函数的交点,所以,对于一元二次方程的根的分布问题,我们也有以上几种转化形式,在这里,基本上转化为对应的二次函数与x轴的交点即可。

  我们可以数一下一元二次方程根的分布有几种情况:

  1、R上没有实根;有且只有一个实根;有两个不相等的实根;

  此时只需要考虑判别式即可。

  当判别式大于0时,有两个不相等的实根;

  当判别式等于0时,有且只有一个个实根;

  当判别式小于0时,没有实根。

  2、x在某个范围内的实根分布

  此时一般需要考虑4个方面,分别是:

  开口方向,判别式,对称轴,端点值f(m)的情况。

  具体如下:

  表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况)

  分布情况

  两个负根即两根都小于0

  两个正根即两根都大于0

  一正根一负根即一个根小于0,一个大于0

  大致图象(a>0

  

  

  

  得出的结论

  

  

  大致图象(a<0

  

  

  

  得出的结论

  

  

  综合结论(不讨论a

  

  

  表二:(两根与k的大小比较)

  分布情况

  两根都小于k

  两根都大于k

  一个根小于k,一个大于k

  大致图象(a>0

  

  

  

  得出的结论

  

  

  大致图象(a<0

  

  

  

  得出的结论

  

  

  综合结论(不讨论a

  

  

  表三:(根在区间上的分布)

  分布情况

  两根都在

  

  两根有且仅有一根在

  

  (图象有两种情况,只画了一种)

  一根在

  内,另一根在

  内,

  大致图象(a>0

  

  

  

  得出的结论

  

  

  大致图象(a<0

  

  

  

  得出的结论

  

  

  综合结论(不讨论a

  ——————

  解析

  其实小数老师不说,你也应该能明白了吧!

  

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